Partie A

Dans un aquarium contenant des poissons, on prend un premier poisson puis, sans le remettre, un deuxième poisson. On obtient ainsi un couple ordonné de poissons.

1-L’aquarium contient 4 poissons rouges et 2 poissons noirs.

1-a Combien de couples peut-on obtenir selon le procédé indiqué ?

1-b Quelle est la probabilité de l’événement A : "Obtenir 2 poissons rouges" ?

1-c Quelle est la probabilité de l’événement B : "Obtenir 2 poissons noirs" ?

1-d Quelle est la probabilité de l’événement A 4 B ?

En déduire la probabilité d’obtenir 2 poissons de couleurs différentes.

2-Il y a maintenant dans l’aquarium 4 poissons rouges et n poissons noirs (n est un entier supérieur

ou égal à 2).

2-a Combien de poissons y a-t-il dans l’aquarium ?

2-b Quelle est la probabilité de l’événement A : "Obtenir 2 poissons rouges" ?

2-c Quelle est la probabilité de l’événement B : "Obtenir 2 poissons noirs" ?

2-d Montrer que la probabilité de l’événement C :"Obtenir 2 poissons de couleurs différentes.

est égale à :

2-e On sait de plus, que l’on a 4 chances sur 7 d’obtenir 2 poissons de couleurs différentes.

Déterminer alors le nombre de poissons noirs qu’il y a dans l’aquarium.

Partie B

Soit x un réel différent de 1.

1-Montrer que :

2-Soit P le polynôme défini par :

2-a Déterminer trois réels a, b, c tels que, pour tout x réel :

2-b En utilisant la question 1, trouver une racine entière de P.

(Toute autre méthode donnant une racine entière est exclue.)

2-c Résoudre : P(x)>0 .

Partie C

On donne un trapèze convexe isocèle ABCD, tel que :

On donne : AB=a, CD=3a, AH=2a

avec a réel positif donné.

On considère le repère orthonormal (H, i , j ) sur le schéma.

1-En utilisant les coordonnées des différents points de la figure dans le repère ci-dessus, déterminer

les réels k et l tels que H soit le barycentre des points A, B, C et D affectés respectivement des

coefficients k, 1, 1 et l.

( Pour la suite, on pourra prendre k=-1 et l=3) .

2-Soit I l’isobarycentre des points B et C et G le barycentre de A et D affectés respectivement

des coefficients -1 et 3.

2-a Construire I et G, après avoir reproduit la figure sur votre feuille.

2-b Montrer que H est le milieu de [IG] de deux manières différentes: en utilisant le repère

(H , i , j ) puis par une méthode géométrique.

3-Soit (E) l’ensemble des points M du plan vérifiant :

3-a Déterminer l’ensemble (E) et le représenter.

3-b Donner une équation de (E) dans le repère (H , i , j ).

4- Soit (F) l’ensemble des points M du plan vérifiant :

4-a Déterminer l’ensemble (F) et le représenter.

4-b Donner une équation de (F) dans le repère (H , i , j ).

 

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