ARITHMETIQUE :

 

On considère l'équation x et y appartiennent à Z 138x-55y =5. (E)

1°. Monter que si (xo, yo) est une solution de (E) alors x. est divisible par 5.

2°. Résoudre (E)

3°. Déterminer les couples (x,y) solutions de (E) tels que x et y soient premiers entre eux.

1°. Déterminer l'ensemble (E) des entiers relatifs n tels que n -1 divise n +3 .

2°. Démontrer que pour tout entier relatif n, les entiers n -1 et n² +2n -3 sont premiers entre eux.

3°. Déterminer les entiers relatifs n tels que (n -1)(2n3 +1) divise (n +3)(n² +2n -2).

n et c étant deux entiers naturels non nuls, le but de l'exercice est de comparer le PGCD de cn et de 2n + 1, et de déterminer selon les valeurs de n le PGCD des deux nombres A = 3n et B = 2n +1.

1°. Montrer que n et 2n + 1 sont premiers entre eux.

2°. En utilisant le théorème de Bezout, démontrer que pour tout entier naturel c non nul le PGCD de cn et de 2n +1 est égal au PGCD de c et de 2n +1.

3°. En déduire que le PGCD de A et de B est le PGCD de 3 et de 2n + 1.

4°. Déterminer le PGCD de 3 et de 2n + 1 selon les valeurs de n en utilisant, par exemple, les trois valeurs possibles du reste de la division euclidienne de n par 3.

1°. Résoudre dans Z3 : x - 2y + z = 0 x + 2y - 2z = 1

1°. Montrer que si deux entier naturels x et y sont premiers entre eux, il en est de même des entiers 3x + 5y et x + 2y.

2°. Résoudre dans N² le système : (3a +5b)(a + 2b) = 1276 ab = 2m