COMPLEXE :

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct (o, i, j), (unité 3 cm). On désigne par A le point d'affixe i. A tout point M de P, distinct de A on associe le point M' d'affixe z' telle que : z'= z²/( i - z )

1°.Déterminer les points M confondus avec leur image M'.

2°. On pose z = x + iy , z' = x' + iy' (z ¹ i) Montrer que x' = (-x (x² + y² -2y)) / ( x² + (1 - y )²) En déduire l'ensemble E des points M dont l'image M' est située sur l'axe des imaginaires purs. Dessiner E.

3°. Trouver une relation simple entre OM ; AM et OM'. En déduire l'ensemble F des points M du plan tels que M et M' soient situés sur un même cercle de centre O. Dessiner F.

4°. Dans cette question M appartient au cercle de centre A et de rayon ½, G est isobarycentre des points A, M et M'. Calculer l'affixe Z de G en fonction de z. Montrer que G est situé sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon. Comparer les angles (u, OG) et (u, AM). Construire G puis M' pour M appartenant au cercle de centre A et de rayon ½.

Le plan P est muni d'un repère orthonormal direct (o, u, v).

1°. Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que : | 1 + iz | = | 1- iz |

Soient deux complexes z et z' tels que : 1 + zz' ¹ 0. Soit u = (z + z') / (1 + zz')

1°. Montrer que u est réel.

P est muni du repère orthonormal direct (o, `u, `v). A le point d'affixe -i ; B le point d'affixe i ; F associe à tout Point M différent de A et d'affixe z. Le point M' d'affixe z'= (iz)/( z + i)

1°. Soit B' (1 + 2i). Déterminer C tel que B'= F(C).

2°. Déterminer l'ensemble des points M de P tels que M' appartient au cercle C de centre B est de rayon Ö2.

3°. Déterminer l'ensemble des points M de P tels que M' appartient à la droite (o,u).

P est un plan rapporté au repère orthonormal direct (o, `u, `v). A est le point d'affixe 1. C est le cercle de centre O et de rayon 1. F est l'application de P dans P qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' avec z' = 2z - z². Dans toute la suite on considère que M est un point du cercle C.

1°. A) Soient m1 et m2 les points d'affixes respectifs z² et 2z. Quels sont les modules de z, 2z et z² ? Donner les arguments de 2z et z² en fonction de l'argument de z.

B) Montrer que Om1m2M' est un parallélogramme.

C) En déduire une construction simple de M' à partir de M.

2°. Montrer que A et M' sont symétriques orthogonalement par rapport à la tangente T en M à C. En déduire une autre construction de M' à partir de M. On fera deux figures distinctes accompagnées d'explications.

Soient les nombres complexes a = 1 + i, b = (a + i)( `a + i), et c = (b + i)( `b + i)

1°. Calculer b et c.

2°. Le plan est muni d'un repère orthonormal direct (o, `u, `v). On considère les points A, B et C d'affixes respectives a, b et c. Montrer que le triangle ABC est rectangle.

3°. Résoudre dans C l'équation (z + i)( `z + i) = 0. Placer sur la figure précédente les images S et T des solutions.

4°. Déterminer puis représenter l'ensemble E des points M d'affixe z tel que (z + i)(`z + i) soit un imaginaire pur.