Exercice 1 :

Une urne contient n boules blanches (n ! 0 ) , deux boules noires et trois boules rouges.

Les boules sont indiscernables au toucher.

On extrait au hasard une boule de l’urne, puis une deuxième successivement et sans remise.

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Partie A : cas où n = 3

On considère dans cette partie que n=3.

A1- Combien y a-t-il de cas possibles pour l’expérience décrite ci-dessus ?

On pourra s’aider d’un arbre ou d’un schéma à cases.

A2- On note A, B et C les événements suivants :

A : " Les deux boules tirées sont rouges."

B : " La première boule tirée est rouge et la deuxième est blanche."

C : "L’une au moins des deux boules tirées est blanche."

Déterminer p(A) , p(B) et p(C).

A3- Calculer les probabilités des événements B3 C et A 4 C.

Partie B : cas où l’on cherche à déterminer n

Dans cette partie, n n’est plus supposé égal à 3.

B1- Déterminer le nombre de cas possibles pour l’expérience décrite en début d’énoncé, en fonction de n.

B2- Déterminer la valeur de n pour que l’événement B ait une chance sur 10 de se produire.

 

Exercice 2 :

On souhaite trouver un polynôme de degré 4 dont la courbe représentative dans un repère donné :

• coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse 4.

• passe par les points A( 1; 6) , B( 2; 6) et C( 3; 6).

On ne demande pas de représentation graphique.

1- Vérifier que le polynôme P₁ tel que :

est solution du problème.

2- On considère un polynôme P solution du problème, et on définit alors le polynôme f par :
f(x)= P(x) - 6 .

2-a ) Quel est le degré de f ?

2- b) Montrer que f peut se mettre sous la forme :

où g est un polynôme dont on déterminera le degré.

2- c) Calculer g(4).

2- d) Déduire de ce qui précède que le polynôme g est de la forme :

où a est un réel non nul.

3- Conclure sur la forme des polynômes P solutions du problème.

Problème :

On considère dans le plan, le quadrillage ci-dessous formé de carrés de coté a.

Sur ce quadrillage, le trapèze ABCD est isocèle et (AB) et (CD) sont deux droites parallèles.

On appelle H le pied de la hauteur issue de A et parallèle aux bases (AB) et (CD) et on nomme I le milieu du segment [BC].

On suppose que AB = a , CD = 3a et AH = 2a.

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A : étude géométrique

A0- Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure du problème.

A1-a) Déterminer et construire le barycentre G des points A et D affectés

des coefficients respectifs -1 et 3.

A1-b) Déterminer et construire le barycentre K du système : (A; -1) , (B; 1) , (C; 1) et (D; 3).

A1-c) Montrer que le point K coïncide avec le point H.

Indication: On pourra exprimer les vecteurs GH et HI en fonction des vecteurs DA et DC par exemple... et conclure.

A2- Déterminer l’ensemble (E) des points M du plan tels que :

 

Représenter (E) sur la figure.

A3- Déterminer l’ensemble (F) des points M du plan vérifiant :

 

Représenter (F) sur la figure.

Partie B : étude analytique

Pour cette partie et cette partie seulement, on considère a=1.

B1-a) On choisit comme repère orthonormal ( H; HC ; HD).

Donner les coordonnées de A, B, C et D dans ce repère.

B1-b) Montrer que le barycentre du système de points (A; -1) , (B; 1) , (C; 1) et (D; 3) est le point H

B2- Soit f la fonction du plan dans R telle que :

Soit M le point de coordonnées (x,y) dans le repère ( H; HC ; HD).

a) Déterminer une équation analytique de l’ensemble (S) des points M vérifiant : f(M)=24.

b) Déterminer la nature et les caractéristiques de (S) et le tracer.

 

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