Problème

Soit f la fonction définie sur R par :

On notera (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal ( O , i , j ) d’unité 2 cm.

A- Etude de la fonction f

1°) a) Déterminer le domaine de définition, noté D, de la fonction f .

b) Etudier la parité de f .

c) Déterminer les limites aux bornes de D.

d) Déduire des questions précédentes que la courbe (C) a trois asymptotes et un axe de symétrie.

2°) Etudier les variations de la fonction f et construire son tableau de variations.

3°) Déterminer les équations des tangentes à (C) aux points d’intersection de (C) et de l’axe des abscisses.

4°) Construire ces tangentes et la courbe (C) dans le repère nommé ci-dessus.

B- Etude d’une fonction circulaire

Soit la fonction g définie pour tout x de l’intervalle [ -p ; p ] telle que :

On pose h = f o g.

On note D_h le domaine de définition de la fonction h.

1°) Montrer que pour tout x appartenant à D_{h ,}, on a :

2°) a) Déterminer le domaine de définition D_h .

b) Etudier la parité et la périodicité de la fonction h.

c) Déduire des questions précédentes que l’intervalle E = [ 0 ; p/6[ U ] p/6 ; p/2 ] est suffisant pour étudier

la fonction h.

3°) Etudier les limites de la fonction h aux bornes de E.

4°) Etudier les variations de h et construire son tableau de variations.

5°) Donner la représentation graphique de h sur l’intervalle [ -p ; p ] dans un repère orthonormal d’unité 1 cm .

 

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