Problème 5 :

Le but de cette partie est d'étudier la fonction f définie sur ]0, + ¥ [ par f(x) = x + (2lnx)/x.

On désigne pas C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (o,`i, `j ) (unité graphique 1 cm).

1°. Etude de la fonction auxiliaire g définie sur ]0, + ¥ [ par g(x) = x² + 2 - 2lnx.

A) Etudier le sens de variation de g et calculer g(1).

B) En déduire le signe de g(x) pour tout x de ]0, + ¥ [ .

2°. A) Calculer les limites de f en 0 et en + ¥ .

B) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

C) Montrer que la droite D d'équation y = x est asymptote à C et étudier la position de C par rapport à D.

D) Déterminer les coordonnées du point A de C sachant que C admet en A une tangente T parallèle à D.

E) Tracer C, T et D.

3°. Calculer, en cm², l'aire du domaine du plan limité par D, la courbe C et les droites d'équations x = 1 et x = e.

4°. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique xo. Prouver que xo est compris entre ½ et 1.

Le but de cette partie est de déterminer une valeur approchée de x0 .

On désigne par h la fonction définie sur ]0, + ¥ [ par h(x) = e (-x²/2).

1°. Montrer que x0 est l'unique solution de l'équation h(x) = x.

2°. On note I l'intervalle [1/2 ; 1]. Montrer que pour tout x appartenant à I, h(x) appartient aussi à I.

3°. A) Calculer la dérivée h' de h et la dérivée seconde h'' de h.

B) Etudier les variations de h' sur I.

C) En déduire que, pour tout x de I, on a | h'(x)| est inférieur à e(-1/2).

4°. On considère la suite définie par Uo = 1 et par Un+1 = h(Un) pour tout entier naturel n de N.

A) Montrer par récurrence que, pour tout n de N : Un est compris entre ½ et 1.

B) En utilisant l'inégalité des accroissements finis, montrer que, pour tout n de N : | Un+1 - xo | est inférieur à e-1/2 |Un - xo|

C) En déduire que pour tout n de N : |Un - xo | est inférieur à ½ e-n/2 5°.

A) Déterminer le plus petit entier naturel no tel que pour tout entier n supérieur ou égal à no on ait : ½ e-n/2inférieur à 10-²

B) Montrer que : |Un - xo | < 10-². Que représente Uno relativement à xo ? Calculer Uno à 10-² près par défaut.

 

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