Problème 4 :

Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal (o,i,j) : on prendra cm comme unité sur les deux axes et on placera des abscisses au milieu de la feuille et l'axe des ordonnées sur le bord gauche de la feuille millimétrée.

Etude d'une fonction et de sa courbe représentative C. On considère la fonction ¦ , définie sur ]0, +¥ [ par : ¦(x) = (1 - 1/x)(lnx - 2) et on désigne par C sa courbe représentative relativement au repère (o,i,j).

1°. Déterminer les limites de ¦ en +¥ et -¥.

2°. Monter que ¦ est dérivable sur ]0, +¥ [ et calculer f'

3°. Soit u la fonction définie sur ]0,+¥ [ par u(x) = lnx + x - 3.

A) Etudier les variations de u.

B) Monter que l'équation u(x) = 0 possède une solution unique a dans l'intervalle [2,3]. Montrer que 2,20< a <2,21

C) Etudier le signe de u(x) sur ]0,+¥ [

4°. A) Etudier les variations de f.

B) Exprimer lnx comme polynôme en a. Montrer que f(a) = - (a - 1)² / a En déduire un encadrement de f(a) d'amplitude 2*10-².

5°. A) Etudier le signe de f(x)

B) Tracer C.

Etude d'une primitive de f sur ]0,+¥ [ . Soit F la primitive de f sur ]0,+¥ [ qui s'annule pour x = 1. On appelle T la courbe représentative de F sur ]0,+¥ [ relativement au repère (o,i,j)

1°. Sans calculer F(x), étudier les variations de F sur ]0,+¥ [ . Que peut on dire des tangentes à T en ses points d'abscisses 1 et e² ?

2°. Soit pour x appartenant à ]0,+¥ [ F(x) = xlnx - ½ (lnx)² + 2lnx -3x + 3

A) Vérifier que F est la primitive de f sur ]0,+¥ [ qui s'annule pour x = 1.

B) Déterminer les limites de F en 0 et en +¥ .

C) Tableau de variation de F

D) Représentation graphique de F dans le même repère.

 

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