Problème 3:

R désigne le repère orthonormal (o,i,j).

1°. La fonction ¦ est définie sur [0, +¥[ par ¦(0) = 0 et pour x Î ] 0, +¥ [ ¦1(x) = xlnx.

A) Etudier les variations de ¦.

B) ¦ est-elle dérivable en 0 ?

C) On désigne par C, la courbe représentative de ¦ dans R. Tracer C. Préciser la tangente (éventuelle) à C en 0.

2°. Dans cette question x désigne un réel supérieur à 1.

A) Montrer que si t est un réel vérifiant 1 £ t £ x alors 1/x £ 1/t £ 1.

B) En déduire que pour x ³1 ; (x-1)/x £ lnx £ x-1

C) Démontrer que pour x ³1 ; x-1 £ ¦(x) £ x²- x

Dans cette partie on envisage la résolution de l'équation E x Î [0, +¥[ ¦(x) = 1. 1°. Démonter que E admet une solution unique x, telle que x1-1£ 1£ x1² - x1 .

2°. Monter que (1+Ö5)/2 £ x1£ 2

3°. On se propose de déterminer une valeur approchée décimale de x1 à 10-2 près.

A) Déterminer une équation de la tangente (T) à C au point d'abscisse 2. Calculer l'abscisse x1' du point d'intersection de (T) avec la droite D dont une équation est y = 1.

B) Donner à l'aide de votre calculatrice, une valeur approchée de ¦(x1') ; en déduire l'encadrement : (1+Ö5)/2 £ x1£ x1' Puis une valeur approchée de x1 à 10-1.

D) Monter, enfin, que 1.76 £ x1 £ x1'. Donner une valeur approchée de x1 à 10-1 prés.

 

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